Bulan: Januari 2009

Setelah melakukan praktikum 2, diharapkan anda memiliki kompetensi dalam hal menulis matriks dan melakukan beberapa operasi matriks.

Jenis Matriks

eye matriks identitas
zeros matriks nol
ones matriks satuan
rand matriks dengan anggota acak
diag matriks diagonal
inv invers suatu matriks
det determinan suatu matriks
trace trace suatu matriks
eig menghitung vektor eigen dan nilai eigen suatu matriks
rank Calculate an estimate of the rank of a matrix
null Calculate a basis for the null space of a matrix
rref Perform Gaussian elimination on an augmented matrix
lu Calculate the LU decomposition of a matrix
qr Calculate the QR decomposition of a matrix
svd Calculate the SVD of a matrix
pinv Calculate the pseudoinverse of a matrix

Menulis Matriks Identitas

Ketik eye(3); lalu tekan Enter.

octave> eye(3);

Octave akan menampilkan matriks identitas ordo 3×3 sbb:

ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Menulis Matriks Nol

Ketik zeros(3); lalu tekan Enter.

octave> zeros(3);

Octave akan menampilkan matriks nol ordo 3×3 sbb:

ans =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

Menulis Matriks Satuan

octave> ones (1, 3);

Octave akan menampilkan matriks satuan ordo 1×3 sbb:

ans =
1 1 1

Menulis Matriks Acak

octave> rand (2, 2)

Ketik perintah diatas kemudian tekan Enter. Octave akan menampilkan matriks ordo 2×2 (2 baris, 2 kolom) dengan elemen acak.

Gambar 19. Menulis matriks acak

ans =
0.81441 0.80733
0.67580 0.99298

Anda dapat memberi nama matriks:

octave> A = rand (2, 2);

Tekan Enter. Kemudian Octave akan menampilkan matriks A ordo 2×2 (2 baris, 2 kolom) dengan elemen acak.

Gambar 20. Menulis matriks acak

A =
0.68256 0.86061
0.17415 0.22140

Menulis Matriks Diagonal

octave> diag (2);

Octave akan menampilkan matriks diagonal ordo x sbb:

ans =
2

A = [ 1, 1, 2; 3, 5, 8; 13, 21, 34 ]

Menulis Matriks Persegi Ajaib

octave> magic(3)
ans =
8 1 6
3 5 7
4 9 2

Menampilkan Vektor dan Matriks yang Besar

Jika anda akan menampilkan suatu matriks atau vektor yang tidak cukup dimuat dalam 1 layar, tulis:

octave> v = 1:1000

Latihan

1. Tulis matriks A ordo 3×3, cari invers matriks A, yaitu A-1, lalu buktikan bahwa A A-1 = A-1A = I. Seluruh elemen matriks adalah anggota bilangan bulat. Jika belum, ulangi proses.
2. Diketahui x + y = 3 dan 2x + 3y = 8. Tentukan nilai x dan y.

OPERATOR ARITMATIKA
Operator aritmatika berikut tersedia dan bekerja/berfungsi pada skalar dan matriks.
x + y Penjumlahan. Jika kedua operan (sesuatu yang dioperasikan) adalah matriks, jumlah baris dan kolom kedua matriks harus sesuai. Jika satu operan adalah/berupa skalar, nilainya ditambahkan pada semua elemen operan yang lain.
x .+ y Element by element addition. Operator ini setara dengan +.
x – y Pengurangan. Jika kedua operan adalah matriks, jumlah baris dan kolom kedua matriks harus sesuai.
x .- y Element by element subtraction. Operator ini setara dengan -.
x * y Perkalian matriks. jumlah kolom matriks x harus sama dengan jumlah baris matriks y.
x .* y Element by element multiplication. If both operands are matrices, the number of rows and columns must both agree.
x / y Right division. This is conceptually equivalent to the expression
(inverse (y’) * x’)’ but it is computed without forming the inverse of y’.
If the system is not square, or if the coefficient matrix is singular, a minimum norm solution is computed.
x ./ y Element by element right division.
x \ y Left division. This is conceptually equivalent to the expression
inverse (x) * y but it is computed without forming the inverse of x.
If the system is not square, or if the coefficient matrix is singular, a minimum norm solution is computed.
x .\ y Element by element left division. Each element of y is divided by each corresponding element of x.
x ^ y
x ** y Power operator. If x and y are both scalars, this operator returns x raised to the power y. If x is a scalar and y is a square matrix, the result is computed
using an eigenvalue expansion. If x is a square matrix, the result is computed
by repeated multiplication if y is an integer, and by an eigenvalue expansion if y is not an integer. An error results if both x and y are matrices.
The implementation of this operator needs to be improved.
x .^ y
x .** y Element by element power operator. If both operands are matrices, the number
of rows and columns must both agree.
-x Negation.
+x Unary plus. This operator has no effect on the operand.
x’ Complex conjugate transpose. For real arguments, this operator is the same as
the transpose operator. For complex arguments, this operator is equivalent to
the expression
conj (x.’)
x.’ Transpose.
Operator Perbandingan
x < y Benar jika x kurang dari y.
x = y Benar jika x lebih dari atau sama dengan y.
x > y Benar jika x lebih dari y.
x != y
x ~= y
x y Benar jika x tidak sama dengan y.
Meningkat
a = a + 2;
dapat dipersingkat menggunakan operator +=
a += 2;

statement separators
‘;’, ‘,’.
assignment
‘=’, ‘+=’, ‘-=’, ‘=’,‘/=’. This operator groups right to left.
logical “or” and “and”
‘||’, ‘&&’.
element-wise “or” and “and”
‘|’, ‘&’.
relational
‘<’, ‘=’, ‘>’, ‘!=’, ‘~=’, ‘’.
colon ‘:’.
add, subtract
‘+’, ‘-’.
multiply, divide
‘’, ‘/’, ‘\’, ‘.\’, ‘.*’, ‘./’.
transpose
‘’’, ‘.’’
unary plus, minus, increment, decrement, and ‘‘not’’
‘+’, ‘-’, ‘++’, ‘–’, ‘!’, ‘~’.
exponentiation
‘^’, ‘’, ‘.^’, ‘.’.
Menulis Fungsi
Pernyataan if
if (condition)
then-body
endif

if (condition)
then-body
else
else-body
endif

if (rem (x, 2) == 0)
printf (“x is even\n”);
else
printf (“x is odd\n”);
endif

if (condition)
then-body
elseif (condition)
elseif-body
else
else-body
endif

// fibonacci
fib = ones (1, 10);
i = 2;
do
i++;
fib (i) = fib (i-1) + fib (i-2);
until (i == 10)
Statemen for
for var = expression
body
endfor

// — fibonacci dengan statemen for —
fib = ones (1, 10);
for i = 3:10
fib (i) = fib (i-1) + fib (i-2);
endfor

Fungsi
function name (arg-list)
body
endfunction

function bangun (pesan)
printf (“\a%s\n”, pesan);
endfunction
Panggil fungsi menggunakan statemen
bangun (“bangun!”);

function hello (who = “World”)
printf (“Hello, %s!\n”, who);
endfunction
When called without an input argument the function prints the following
hello ();
a Hello, World!
printf (“Hello, world!\n”);

myfile = fopen (“splat.dat”, “r”, “ieee-le”);
The possible values ‘mode’ may have are
‘r’ Membuka file untuk dibaca.
‘w’ Membuka file untuk ditulis. Konten sebelumnya akan diabaikan.
‘a’ Membuka atau membuat file untuk ditulis di akhir file.
‘r+’ Membuka file yang telah ada untuk dibaca dan ditulis.
‘w+’ Membuka file untuk dibaca dan ditulis. Konten sebelumnya akan diabaikan.
‘a+’ Membuka atau membuat file untuk ditulis di akhir file.
filename = “free.txt”;
fid = fopen (filename, “w”);
fputs (fid, “Free Software is needed for Free Science”);
fclose (fid);

Ikuti tahapan pengoperasian sebagai berikut:

Menggambar Grafik Sinus

octave> x = -10:0.1:10;
plot (x, sin (x));

Gambar 6. Grafik fungsi sinus

octave> hist (randn (10000, 1), 30);

Gambar 7. Grafik histogram

x = 0:2;
y = x;
z = x’ * y;
contour (x, y, z, 2:3)
x = 0:0.1:10;
y = sin (x);
yp = 0.1 .* randn (size (x));
ym = -0.1 .* randn (size (x));
errorbar (x, sin (x), ym, yp);

Gambar 8. Grafik sin error

octave> polar (0:0.1:10*pi, 0:0.1:10*pi);

Gambar 9. Grafik Polar

octave> tx = ty = linspace (-8, 8, 41)’;
[xx, yy] = meshgrid (tx, ty);
r = sqrt (xx .^ 2 + yy .^ 2) + eps;
tz = sin (r) ./ r;
mesh (tx, ty, tz);

Gambar 10. Grafik

octave> t = 0:0.1:10*pi;
r = linspace (0, 1, numel (t));
z = linspace (0, 1, numel (t));
plot3 (r.*sin(t), r.*cos(t), z);

Gambar 11.

octave> z = sin (sqrt (x^2 + y^2)) / (sqrt (x^2 + y^2))

octave> x = 0:0.01:3;
plot(x,erf(x));
hold on;
plot(x,x,”r”);
axis([0, 3, 0, 1]);
text(0.65, 0.6175, strcat(’\leftarrow x = {2/\surd\pi’,
’ {\fontsize{16}\int_{\fontsize{8}0}^{\fontsize{8}x}}’,
’ e^{-t^2} dt} = 0.6175’))

octave> function s = sind(x)
%SIND(X) Calculates sine(x) in degrees
s = sin(x*pi/180);
octave> x = 2:0.2:4;
y = 1:0.2:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);

Gambar 12.
1. Tulis skrip berikut, lalu tekan Enter.

Gambar 4. Menggambar grafik

Gambar 5. Tampilan grafik
Notasi Titik Dua (:)
Perintah
octave> e=2:6
akan menampilkan bilangan asli dari 2 hingga 6.
e =
2 3 4 5 6

octave> e=2:0.3:4
akan menampilkan bilangan dari 2 hingga 4, dengan kenaikan 0.3 (bilangan di tengah).
e =
2.0000 2.3000 2.6000 2.9000 3.2000 3.5000 3.8000

Menggambar Grafik Sinus

octave> sudut=[0:pi/3:2*pi]
y=sin(sudut)
plot(sudut,y)

Gambar 13. Grafik Sinus

Gambar 14. Grafik Sinus
Untuk menggambar grafik yang lebih detil
octave> sudut =linspace(0,2*pi,100);
y=sin(sudut);
plot(sudut, y);

Gambar 15. Grafik Sinus (garis datar?)
w whitew . point – solid
m magenta o circle : dotted† c cyan x x-mark -. dashdot† r red + plus — dashed† g green * star
b blue s square† y yellow† d diamond† k black† v triangle (down)† ^ triangle (up)† triangle (right)† p pentagram† h hexagram†
plot(sudut, y, ’ro’)

Menambahkan Judul pada Grafik

title(’Grafik y=sin(x)’)
xlabel(’Sudut’)
ylabel(’Nilai’)

Gambar 16. Grafik Sinus dengan Judul

Menggambar Beberapa Grafik

plot(sudut,y,’:’, sudut,cos(sudut),’-’)

plot(sudut,sin(sudut),’:’, sudut,cos(sudut),’-’)

Gambar 17. Grafik Sinus dan Cosinus

Menambahkan Legenda

Tambahkan legenda dengan menuliskan
legend(’Sinus’,’Cosinus’)

plot(sudut,y,’:’)
hold on
plot(sudut,cos(sudut),’g-’)
legend(’Sinus’,’Cosinus’)

Menggambar Grafik Tangen

Gambar 18. Grafik Tangen
axis([0 7 -5 5])

Gambar 19. Grafik Tangen dengan Axis -5 s.d +5
Perintah axis mengambil suatu argument yang didefinisikan sebagai vektor (xmin, xmax, ymin, ymax).

Menyimpan dan Mencetak Gambar

print(‘grafik.eps’,’-deps’)
untuk menyimpan grafik dalam versi postscript ter-enkapsulasi menjadi file grapfik.eps.
print(‘grafik.png’,’-dpng’)
untuk menyimpan grafik dalam format PNG.

Setelah melakukan praktikum 1, diharapkan anda memiliki kompetensi dalam hal menginstal program Octave di komputer dengan sistem operasi Windows XP dan menjalankan operasi dasar Octave.

Menginstal Octave

Siapkan file installer Octave. Unduh (download) dari situs www.octave.org. Pilih rilis terbaru yang stabil. Octave versi 3.0.0 disediakan di situs elearning.unej.ac.id matakuliah Algoritma dan Pemrograman.
Sebelum memulai instalasi, sebaiknya tutup aplikasi lain, lalu ikuti tahapan instalasi berikut:
1. Klik ganda file octave-3.0.0-setup.exe.

Gambar 1. Lokasi file installer Octave

Gambar 2. Ikon file installer Octave
Instalasi Octave juga bisa dilakukan dengan mengklik Start | Run…, lalu Browse… ke lokasi file installer Octave kemudian klik OK.

Gambar 3. Instalasi melalui Start | Run…
2. Octave menampilkan halaman “Selamat Datang”. Klik Next > untuk melanjutkan instalasi atau klik Cancel untuk membatalkan.

Gambar 4. Layar “Selamat Datang”
3. Octave menampilkan License Agreement. Klik Next >.

Gambar 5. Menampilkan Lisensi
4. Wizard instalasi mendeteksi prosesor pada komputer anda dan menampilkan opsi Select CPU type dengan konfigurasi optimal yang mungkin. Klik Next >.

Gambar 6. Opsi tipe CPU
5. Pilih komponen (fitur) yang akan diinstal. Beri tanda cek untuk memilih atau sebaliknya. Dalam keadaan default, instalasi memerlukan ruang seluas 88.9MB. Klik Next >.

Gambar 7. Pilih komponen yang akan diinstal
6. Pilih jenis grafis. Grafis utama dan paling stabil adalah Gnuplot. Klik Next >.

Gambar 8. Pilih tipe grafis default
7. Pilih lokasi instalasi. Dalam keadaan default, lokasi instalasi diarahkan ke C:\Program Files\Octave. Jika tidak, klik Browse lalu alihkan ke lokasi instalasi yang anda ingin. Klik Next >.

Gambar 9. Pilih lokasi instalasi
8. Pilih folder menu start. Biarkan opsi ini dalam keadaan default. Klik Install.

Gambar 10. Pilih nama folder start menu
9. Tunggu proses instalasi hingga selesai.

Gambar 11. Proses instalasi

Gambar 12. Proses instalasi 2
10. Setelah instalasi selesai, wizard setup akan menampilkan pesan. Klik di kotak cek (centang) Show Readme untuk membaca file Readme. Klik Finish.

Gambar 13. Instalasi selesai

Memulai Octave

Baik, anda telah berhasil menginstal Octave. Berikutnya, anda akan belajar menjalankan Octave. Ikuti tahapan pengoperasian sebagai berikut:
1. Klik Start | All Programs | GNU Octave | Octave.

Gambar 14. Memulai Octave
Anda juga bisa mengklik ganda shortcut Octave di desktop.

Gambar 15. Tampilan desktop dengan shortcut Octave

Gambar 16. Shortcut Octave di desktop
2. Tampilan awal Octave.

Gambar 17. Tampilan awal Octave
Perhatikan baris terakhir.
octave-3.0.0.exe:1>
Pertama, menunjukkan rilis program Octave yaitu octave-3.0.0, diikuti nomor baris, yaitu 1. Dengan tidak mengurangi maksud, selanjutnya penulisan disingkat menjadi octave> saja, tanpa rilis dan nomor baris.
Pada baris inilah, anda akan mengetikkan perintah.

Ketentuan Umum Octave

Ctrl + b mundur 1 karakter.
Ctrl + f maju 1 karakter.
Del hapus karakter.
Ctrl + d hapus karakter.
Esc + f maju 1 kata.
Esc + b mundur 1 kata.
Ctrl + a pindah ke awal baris.
Ctrl + e pindah ke akhir baris.
Ctrl + l bersihkan layar, tulis ulang baris di atas.
Ctrl + _
Ctrl + / batalkan aksi terakhir.
Esc + r batalkan aksi di seluruh aksi pada baris. Sama seperti perintah undo.

Menghitung dengan Octave

Selanjutnya anda akan melakukan operasi dasar matematis di Octave antara lain: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, penarikan akar.

Operator aritmatika:

notasi	operasi
+	penjumlahan
–	pengurangan
*	perkalian
/	pembagian
^	perpangkatan
sqrt	penarikan akar

Sebagai contoh:

Menjumlahkan

octave> 2+3
ans = 5

Memangkatkan

octave> 3^2
ans = 9

Mengakarkan

Menghitung nilai akar suatu bilangan atau me’narik’ akar.

octave> sqrt(9)
ans = 3

Gambar 18. Menarik akar

Menghitung Eksponen

octave> exp(1)
ans = 2.7183

Menghitung Nilai Trigonometri

operator trigonometri:

cos	Cosinus suatu sudut (dalam radian)
sin	Sinus suatu sudut (dalam radian)
tan	Tangen suatu sudut (dalam radian)
exp	Fungsi eksponensial (ex)
log	Logaritma natural (NB ini adalah loge, bukan log10)
log10	Logaritma basis 10
sinh	Sinus hiperbolikus
cosh	Cosinus hiperbolikus
tanh	Tangen hiperbolikus
acos	Invers cosinus
acosh	Invers hyperbolic cosinus
asin	Invers sinus
asinh	Invers hyperbolic sinus
atan	Invers tangen
atan2	Dua-argumen dari invers tangen
atanh	Invers hiperbolikus tangen
abs	Harga mutlak
sign	Tanda bilangan (-1 atau +1)
round	Pembulatan ke bilangan bulat terdekat
floor	Pembulatan kebawah (hingga minus tak-hingga)
ceil	Pembulatan keatas (hingga plus tak-hingga)
fix	Pembulatan hingga nol
rem	Remainder setelah pembagian bilangan bulat

Latihan

Untuk menghitung nilai

octave> 1.2 * sin(40*pi/180 + log(2.4^2))
ans = 0.76618

atau

octave> deg = pi/180;
octave> 1.2 * sin(40*deg + log(2.4^2))
ans = 0.76618

Secara default, Octave menampilkan jawaban sebagai suatu variabel dengan nama ans. Kecuali anda memberinya dengan nama lain. Variabel ans kemudian dapat digunakan kembali.
Anda dapat mengganti format jawaban menjadi format panjang atau pendek dengan menulis format long atau format short sebelumnya.

octave> format long
octave> pi
ans = 3.14159265358979

octave> format short
octave> pi
ans = 3.1416

Menyimpan Data

Ketika anda menutup Octave, seluruh variabel yang telah anda buat akan dibersihkan. Jika anda akan meneruskan pekerjaan anda, simpan dengan perintah save.

octave> save nama_file

Octave akan menyimpan data anda di direktori aktif. Direktori default sama dengan lokasi anda menginstal Octave, biasanya di C:\Program Files\Octave.

Memanggil Data

Kemudian jika anda ingin melanjutkan pekerjaan anda, tampilkan dengan perintah load.

octave> load nama_file

Memindah Direktori

Jika anda ingin meletakkan di direktori selain direktori default, pindah direktori dengan perintah cd (change directory).

octave> cd lokasi

Ketika akan meload data, pastikan anda berada di direktori dimana anda menyimpan dokumen anda sebelumnya.

Mengakhiri Octave

Setelah mempelajari operasi dasar Octave, kini saatnya untuk mengakhirinya. Octave bekerja dalam mode DOS, anda tidak bisa menutup begitu saja jendela Octave, untuk mengakhiri Octave, ketik exit atau quit.

octave> exit

atau

octave> quit