Problem #3

Determine the value of:

$latex 100^2 – 99^2 + 98^2 – 97^2 + 96^2 – 95^2 + \ldots + 4^2 – 3^2 + 2^2 – 1^2 $

SOLUSI

Ingat kesamaan

$latex a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) $

lebih khusus, jika $latex a – b = 1 $, maka

$latex a^2 – b^2 = a + b $, sehingga:

$latex 100^2 – 99^2 + 98^2 – 97^2 + 96^2 – 95^2 + \ldots + 4^2 – 3^2 + 2^2 – 1^2 $

$latex = (100 + 99) + (98 + 97) + (96 + 95) + \cdots + (4 + 3) + (2 + 1) $

$latex = 199 + 195 + 191 + \cdots + 7 + 3 $

yang merupakan deret hitung dengan suku pertama, $latex a = 3 $ dan beda, $latex b = 4 $.

$latex a + (n – 1)b = 199 $

$latex 3 + (n – 1)4 = 199 $

$latex 4n = 200 $

$latex n = 50 $

maka jumlah 50 suku pertama adalah:

$latex S_{n} = \frac {1}{2} \cdot n (2a + (n – 1)b) $

$latex S_{50} = \frac {1}{2} \cdot 50 (2 \cdot 3 + (50 – 1) \cdot 4) $

$latex S_{50} = 25 \cdot (6 + 196) $

Jadi, $latex S_{50} = \cdots $